Als je de affiniteit even vergeet: je kunt een nulgeodetische waarde op elke gewenste manier parametriseren. Eigenlijk kun je elke geodetische (ach, zelfs elke curve) parametriseren zoals je wilt; alles wat je nodig hebt is een monotone functie die punten op de geodetische waarde toewijst aan unieke waarden van de parameter. Maar voor tijdachtige geodeten gebruik je bijna altijd de juiste tijd omdat het een aardige, verstandige fysieke grootheid is die toevallig ook als parameter werkt.

Met nulgeodeten heb je niet de juiste tijd als een optie omdat de juiste tijdtoewijzing dezelfde waarde toekent aan alle punten op het geodetische. Dus je moet een andere parametrisatie kiezen. In principe kan het opnieuw elke monotone functie zijn die punten op de geodetische functie toewijst aan unieke waarden van de parameter.

Het is echter mogelijk om een ​​manier te kiezen om de nulgeodetische functie te parametriseren op een manier die is " verstandig "op dezelfde manier dat de juiste tijd" verstandig "is voor een tijdachtige geodetische. Dit wordt een affiene parameter genoemd. In het bijzonder is een manier om een ​​affiene parameter te definiëren, dat deze voldoet aan de geodetische vergelijking. (Opmerking: de geodetische vergelijking werkt niet voor zomaar een willekeurige parametrisering van een geodetische. Je moet een affiene parameter gebruiken.) Een andere manier is om te zeggen dat als de parametrisering affien is, parallel transport de tangensvector behoudt, zoals Wikipedia doet. Een andere manier is om te zeggen dat de versnelling loodrecht staat op de snelheid gegeven een affiene parameter, zoals Ron deed. Al deze definities zijn equivalent.

Het blijkt, hoewel ik de details van een bewijs niet ken, dat er een unieke affiene parameter is voor elke geodetische, tot transformaties van de vorm $ t \ to op + b $.

Na het antwoord van David Z is het bewijs voor de laatste alinea:

• aangezien $ t $ een affiene parameter is waaraan het voldoet: \ begin {equation} \ frac {\ mathrm d ^ 2x ^ a} {\ mathrm dt ^ 2} - \ Gamma ^ a_ {bc} \ frac {\ mathrm dx ^ b} {\ mathrm dt} \ frac {\ mathrm dx ^ c} {\ mathrm dt} = 0 \ tag1 \ end {equation}

• de parameter $ t '$ moet op de een of andere manier gerelateerd zijn aan $ t $, dat wil zeggen: $$ t' = t '( t) \ tag2 $$

• gebruik de kettingregel om:

$$ \ frac {\ mathrm dt '} {\ mathrm dt} \ frac {\ mathrm d} {\ mathrm dt'} \ left (\ frac {\ mathrm dt '} {\ mathrm dt} \ frac {\ mathrm dx ^ a} {\ mathrm dt' } \ right) - \ Gamma ^ a_ {bc} \ left (\ frac {\ mathrm dt '} {\ mathrm dt} \ frac {\ mathrm dx ^ b} {\ mathrm dt'} \ right) \ left (\ frac {\ mathrm dt '} {\ mathrm dt} \ frac {\ mathrm dx ^ c} {\ mathrm dt'} \ right) = 0 \\\ Leftrightarrow \ left (\ frac {\ mathrm dt '} {\ mathrm dt} \ right) ^ 2 \ frac {\ mathrm d ^ 2x ^ a} {\ mathrm dt '^ 2} + \ frac {\ mathrm d ^ 2t'} {\ mathrm dt ^ 2} \ frac {\ mathrm dx ^ a} {\ mathrm dt '} - \ Gamma ^ a_ {bc} \ left (\ frac {\ mathrm dt'} {\ mathrm dt} \ right) ^ 2 \ frac {\ mathrm dx ^ b} {\ mathrm dt '} \ frac {\ ma thrm dx ^ c} {\ mathrm dt '} = 0 \ tag3 $$

• de affiene parameter $ t' $ moet ook voldoen aan: $$ \ frac {\ mathrm d ^ 2x ^ a} {\ mathrm dt '^ 2} - \ Gamma ^ a_ {bc} \ frac {\ mathrm dx ^ b} {\ mathrm dt'} \ frac {\ mathrm dx ^ c} {\ mathrm dt '} = 0 \ tag4 $$

• door $ (3) $ en $ (4) $ te vergelijken, krijgen we de voorwaarden dat: $$ \ left (\ frac {\ mathrm dt ' } {\ mathrm dt} \ right) ^ 2 \ neq0 ~~ \ wedge ~~ \ frac {\ mathrm d ^ 2t '} {\ mathrm dt ^ 2} = 0 \ tag5 $$

• wat $ t '= \ alpha t + \ beta $ oplevert met $ \ alpha \ neq0 $

Een affiene parameter is er een die de versnelling loodrecht op de snelheid maakt. Het is de limiet van de juiste tijd aangezien je de limiet neemt dat de geodetische waarde nul wordt, herschaald om de totale lengte eindig te maken.

Een nuttige eigenschap van de affiene parametrisering is de volgende. Op elk punt langs de geodetische aard kunnen we het momentum bepalen $ k ^ \ mu = \ punt X ^ \ mu $ waarbij de punt de afgeleide is met betrekking tot affiene tijd. Dit momentum wordt gedefinieerd tot een algehele herschaling, vanwege de mogelijkheid om de parameter te herschalen. Nu is het nuttige dat dezelfde afgeleide, met betrekking tot hetzelfde affiene parameter, maar op een ander punt langs de geodetische lijn geeft nu het momentum op een ander punt.Als je een massaloos deeltje had met het aanvankelijke momentum op het eerste punt, dan geeft dit laatste momentum je het roodverschoven of blauw verschoven momentum dat het deeltje langs de geodetische lijn zou hebben.

Dit houdt in dat de affiene parameter kan worden gezien als evenredig met de fase van de kwantumgolffunctie, of fase van de overeenkomstige golfvergelijking.

Volgens Lasenby et al.(Algemene relativiteitstheorie Een inleiding tot natuurkundigen) [sectie 3.16] gegeven een curve $ x ^ {\ mu} (u) $ , $ u $ is een affiene parameter als de tangensvector met betrekking tot $ u $ parallel langs de curve wordt getransporteerd.