Het draait allemaal om de hoeken die door het object worden gemaakt wanneer er licht van in het oog komt.

Beschouw deze ruwe doodle van eenoog kijken naar twee identieke bomen.Het licht dat vanuit de dichtstbijzijnde boom het oog binnenkomt, maakt een bredere hoek naar het oog, en de andere boom maakt een scherpere hoek.De hersenen interpreteren dit als de verdere boom die kleiner lijkt te zijn.

Probeer dit eens: ga naar buiten tijdens volle maan.Neem een kwart (of een gelijkwaardige munt als u niet in de VS bent) en houd deze op armlengte afstand.Beweeg het kwart over de maan.Bedekt het kwartier bijna de maan?Je kunt ook kleinere munten gebruiken en ze dichterbij houden.

Hierboven is nog een grove doodle, en hieris een foto.De munt en de maan lijken even groot te zijn omdat de hoeken die ze bij het oog maken gelijk zijn.

Het is omdat licht in min of meer rechte stralen reist.

Laten we voor de eenvoud aannemen dat je oog als een gaatjescamera is; het heeft een gaatje aan de voorkant en een scherm aan de achterkant. Vervolgens vormt zich een beeld door de lichtstralen die door het gaatje gaan.

(van https: //commons.wikimedia .org / wiki / File: Pinhole-camera.png)

Beschouw twee punten op een object, zoals de boven- en onderkant van een boom. Als je een object verder verplaatst, blijven de twee punten op dezelfde afstand van elkaar, maar zijn ze verder van het gaatje verwijderd, en dus is de hoek die het maakt met het gaatje kleiner. Maar het scherm bevindt zich nog steeds op dezelfde afstand van het gaatje, en daarom is het beeld kleiner. (Zie ook dit gerelateerde BBC-artikel.)

Wat betreft uw vraag over het verdwijnpunt, het is helemaal niet duidelijk wat u vraagt. Bij perspectieftekening hebben we de projectie van de scène op een plat scherm via een oorsprong (het oog). Overweeg onder de projectie alle lijnen die niet door de oorsprong gaan. Elk van hen wijst op een lijn, en twee van hen die elkaar snijden, wijzen op elkaar snijdende lijnen. Als we bepalen dat twee van hen die evenwijdig zijn, elkaar daadwerkelijk snijden op een punt op oneindig, dan is het nog mooier omdat dan twee lijnen elkaar kruisen op een uniek punt. Ook zouden parallelle lijnen op een horizontaal oppervlak elkaar allemaal op hetzelfde punt op oneindig kruisen, dat na projectie wordt toegewezen aan een punt op het scherm waar de beelden van al die parallelle lijnen doorheen gaan.

Punten op oneindig bestaan ​​niet in het Euclidische model van de wereld, net zoals parallelle lijnen elkaar niet snijden. Het is alleen zo dat als we ze conceptueel aan het Euclidische model toevoegen, we de projectieve ruimte verkrijgen die mooie eigenschappen heeft, inclusief een betekenisvol begrip van de horizon als het beeld van een of andere lijn van punten op oneindig. Dit stelt ons in staat om perspectieftekeningen te tekenen, wat in feite is om de afbeelding op het scherm te tekenen, gegeven wat we weten over de lijnen in de scène.

Het oppervlak van de aarde is niet vlak maar licht gebogen, en dus we kunnen niet het hele oppervlak van de aarde zien, en we zien een licht gebogen horizon. Dit heeft niets te maken met de lijn op oneindig in perspectieftekeningen, aangezien die lijn er nog steeds is, alleen niet relevant voor de horizon die we zien tussen het aardoppervlak en de lucht. Als dit is waar u uw "2,9 mijl" vandaan hebt gehaald, dan is het gewoon hoe ver u op het aardoppervlak kunt zien, wat natuurlijk niet gerelateerd is aan het feit dat u alle weg naar de sterren.

(van https://en.wikipedia.org/wiki/Horizon#/media /File:Horizons.svg)

In het bovenstaande diagram komt de astronomische horizon overeen met de lijn op oneindig als je op een heel vlak oppervlak stond. De ware horizon is wat jij ziet als de kloof tussen de lucht en de oceaan, aangezien de aarde niet vlak is. De zichtbare horizon is wat je ziet als de scheiding tussen lucht en land, aangezien er meestal veel dingen zijn, zoals bomen op het land, die het zicht op het werkelijke grondoppervlak blokkeren.

Kortom, perspectieftekeningen don werken niet voor dingen die te ver weg zijn op het aardoppervlak, omdat ze uitgaan van een perfect vlak grondoppervlak.

Een hoek is slechts een maat voor de relatie tussen de booglengte van een cirkelsegment en de straal van die cirkel. Een object (laten we zeggen een potlood) met een lengte van $ 30 ~ \ text {cm} $ zal altijd die lengte hebben, maar de afstand tussen het potlood en uw oog kan veranderen.

De definitie van een hoek is de booglengte, $ s $, over de straal, $ r $

Ook al verandert het potlood niet de grootte, de straal neemt toe naarmate je hem van je oog af beweegt, dus de noemer neemt toe terwijl de teller gelijk blijft, dus de breuk resulteert in een kleinere waarde (dwz een kleinere hoek). De hersenen nemen dingen waar vanuit de hoek waaronder licht komt (zoals je weet en anderen hebben erop gewezen). Dit komt door het feit dat de hersenen de grootte schatten op basis van het percentage van het gezichtsveld dat het object inneemt. Dat wil zeggen, hoe groot de hoek is in vergelijking met de gehele hoek die we kunnen zien (ongeveer $ 180º $, aangezien we bijna alles voor ons kunnen zien).

Er is geen limiet, zoals u zegt , tot het werkelijke bereik van het gezichtsvermogen, maar er is een limiet aan de hoek waaronder licht onze ogen binnenkomt. Een stofdeeltje kan letterlijk 1 cm van je oog verwijderd zijn, maar omdat de lengte zo klein is, blijft de hoek klein, zodat licht dat van de bovenkant van het deeltje en de onderkant komt, niet van elkaar te onderscheiden is. Aan de andere kant is de maan, ondanks dat hij duizenden kilometers verwijderd is, ook honderden kilometers breed.

Aan deze twee voorbeelden kunnen waarden worden toegekend:

Stofdeeltjes met een lengte van $ 2,5 ~ \ mu \ text {m} = 2.5 \ cdot 10 ^ {- 6} ~ \ text {m} $ (deze maat opgezocht in Google). Dus als het deeltje $ 1 ~ \ text {cm} = 10 ^ {- 2} ~ \ text {m} $ van je oog verwijderd is, vormt de hoek waaronder de lichtpaden van boven en onder komen een hoek van $ \ frac {s} {r} = \ frac {2.5 \ cdot 10 ^ {- 6}} {10 ^ {- 2}} = 2.5 \ cdot 10 ^ {- 4} ~ \ text {rad} $. Dit is, eenvoudig gezegd, minder dan de resolutie van onze ogen.

Terwijl, voor het maanvoorbeeld:

Maanafstand tot de aarde $ 384.000 ~ \ text {km} $, we zeggen $ 3.8 \ cdot 10 ^ {8} ~ \ text {m} $ om het eenvoudiger te maken.Maandiameter $ 3,474 ~ \ text {km} $, dus $ 3,5 \ cdot 10 ^ {6} ~ \ text {m} $ nogmaals om het te vereenvoudigen.De hoek hier is ongeveer $ 0,01 ~ \ text {rad} $, wat ongeveer $ 0,5 ~ \ text {graden} $ is.Aangezien ons hele perspectief bijna $ 180º $ is, is dit ongeveer $ 0,2 \% $ van ons gezichtsveld, klein maar niettemin aanzienlijk.

Ik hoop dat dit helpt!

TLDR

Zoek Euclidische en Minkowski-ruimte op.

Perspectief en de vorm van ruimte

Geometrisch perspectief werkt omdat we toevallig in een bijna Euclidische driedimensionale ruimte leven. In zo'n ruimte zijn per definitie de bekende regels van 3D-geometrie van toepassing en volgt perspectief uit de regels van geometrie.

We kunnen ons andere ruimtes voorstellen en beschrijven waarin de 'vertrouwde regels van de geometrie' niet van toepassing zijn en in deze ruimtes zouden onze perspectiefregels niet werken.

Op dit moment is de beste wiskundige beschrijving van de ruimte waarin we leven die van de Minkowski-ruimte, volgens de speciale relativiteitstheorie. Minkowski-ruimte is kromgetrokken van de Euclidische ruimte door de dichtheid van massa en energie. Maar hier in de buurt is de Minkowski-ruimte bijna Euclidisch. Zwaartekrachtlenzen is een kenmerk van de speciale relativiteitstheorie waar normaal perspectief niet van toepassing is.

Verdwijnpunten in je tekening

Ik denk dat het het gemakkelijkst is om een ​​verdwijnpunt te zien als een punt op je tekenoppervlak waar de 2D-projecties van een reeks parallelle (3D) lijnen in de scène samenkomen. Parallelle lijnen in Euclidische 2D- en 3D-ruimte komen niet samen, maar de geprojecteerde lijnen op uw tekenvlak zullen stralen vanuit een punt in dat vlak.

Bijgevolg de positie van elk verdwijnpunt in uw tekening is volledig afhankelijk van: je standpunt, de richting van het midden van je scène, het gezichtsveld en de 'opwaartse' richting in je foto.

Bijvoorbeeld als je naar beneden kijkt een beetje, zoals bij een lelievijver, dan zal het verdwijnpunt van de horizon op je foto zich boven het midden van je foto bevinden. Als je een beetje opkijkt, is het tegenovergestelde waar.

Wijst op oneindig

Wanneer we een paar parallelle lijnen projecteren op een denkbeeldige bol op oneindig, zullen de lijnen de bol op verschillende punten snijden.Als u die punten vanuit uw standpunt naar het tekenvlak projecteert, hebben de geprojecteerde punten in feite geen scheiding.Dit komt omdat, hoewel iets gedeeld door oneindigheid ongedefinieerd is, we het hier als niet van nul te onderscheiden kunnen beschouwen.

Optische effecten

De perspectiefregels passen echte lijnen van de scène, door het tekenvlak, toe op jouw standpunt.Maar licht reist alleen in een rechte lijn in een uniform medium.Daarom werken lenzen: de lichtsnelheid is langzamer in glas dan in lucht.Dat is de reden waarom we warmtevervorming en luchtspiegelingen in de lucht kunnen krijgen.We zouden kunnen stellen dat de ruimte onder deze omstandigheden niet-Euclidisch lijkt te zijn, maar dit komt doordat de lichtstraal niet recht is.

Ja, over die hoeken (het licht dat in het oog valt, enz.). Waarom zou de hoek smaller worden naarmate de afstand groter wordt? Ten eerste interpreteert ons brein het signaal dat het van het oog ontvangt. Ik durf te stellen dat als het andersom was (dwz als de hoek breder werd naarmate de afstand groter werd), onze hersenen een manier zouden vinden om zich aan te passen, en we zouden allemaal zeggen: "Het is groter omdat het verder weg is, zo werkt het ").

Ik denk dat je het een beetje achteruit hebt. Het feit dat de hoek smaller wordt als een object verder weg komt, is een gevolg van de GEOMETRIE waarin we leven. We leven in een geometrische ruimte waar hoeken kleiner worden als dingen verder uit elkaar bewegen. Dit is zowel iets dat kan worden bewezen met behulp van de postulaten van de Euclidische meetkunde, EN een experimenteel feit.

Waarom interpreteren onze hersenen kleine hoeken als ver weg? Omdat we zijn geëvolueerd om onze zintuigen NUTTIG te laten zijn. De knaagdieren die grote leeuwen interpreteerden als ver weg, zijn allemaal dood. Er is een sterke evolutionaire druk om onze hersenen onze zintuigen te laten interpreteren om de werkelijkheid weer te geven.

Zoals je zei, als we in een geometrische ruimte zouden leven waar hoeken groter werden toen dingen verder weg waren, zouden onze hersenen zijn geëvolueerd naar interpreteer afstand op de juiste manier. Maar we leven NIET in dat soort ruimte; we leven in de Euclidische ruimte. Dat kun je zien aan het feit dat in onze ruimte parallelle lijnen elkaar niet snijden en de hoeken van driehoeken samen 180 graden bedragen. Een van de wiskundige consequenties hiervan is dat dingen die verder weg liggen er kleiner uitzien.

Ik denk dat het erop neerkomt: Omdat zo de wiskunde werkt.

Dat is hoe Perspectiefprojectie werkt. En dat doet het omdat je een camera (of je oog) kunt benaderen als een enkel punt.

Ik heb het gevoel dat het laatste "waarom" om een ​​van de andere antwoorden te accepteren is dit: ik werk op die manier omdat we ons voorstellen dat het brandpunt van de projectie achter het projectievlak ligt.

Dus misschien zal het je duidelijk maken als we dat zouden doen het tegenovergestelde.

Stel je je netvlies voor als een enorm canvas. Je kijkt naar dingen door een raam van aanzienlijk kleiner formaat (het projectievlak - of de lens in de volgende mock-up).

Dan zou inderdaad het dichterbij gelegen (oranje) object kleiner lijken dan het verder gelegen (paarse) object. Maar simpel gezegd: dit is niet hoe een oog werkt! In feite zijn de gevolgen van een dergelijk systeem nogal moeilijk voor te stellen.

Leuk en duidelijk feit: in werkelijkheid ligt dit brandpunt echt voor het projectievlak. Zowel met je ogen als met camera's. Het bevindt zich echter in het hele apparaat en dus wordt er geen licht van binnenuit uitgezonden en kunnen we die ruimte negeren voor onze doeleinden. Dus een benadering als punt is voldoende.

Tot op zekere hoogte is het volgende waar: objecten binnen je oog lijken groter naarmate ze verder van het netvlies verwijderd zijn.

Dit komt door hoe onze ogen zijn geconstrueerd.

Onze ogen hebben een lens en een gaatje en een netvlies. Deze nemen het licht naar ons toe en projecteren een "beeld" in één reeks richtingen ervan op ons netvlies. Het netvlies verdeelt vervolgens de dingen op basis van hoeken en stuurt de informatie naar onze hersenen. Ons brein interpreteert het dan als wat we zien.

Een behoorlijke benadering van hoe het gat in ons oog plus de lens werken, is om de pupil te behandelen als een punt waar alleen licht ‘recht doorheen’ kan gaan. en projecteer op het netvlies erachter.

Neem dit diagram:

  AB #AB * #AB #  

De * is de leerling. De # s zijn het netvlies. De A s en B s zijn twee objecten die dichterbij / verder weg zijn.

Gebruik een rechte rand (potlood of stuk papier) om te tekenen een lijn vanaf de bovenkant van de B 's, door het midden van de pupil * , naar het netvlies # . Doe hetzelfde met de onderkant. Dit is het beeld dat B op ons netvlies projecteert.

Vergelijk dat met de hoogte van de A 's die op het netvlies worden geprojecteerd. Hoe dichterbij projecteert een groter beeld .

Nu kan het netvlies / de pupil ook bewegen. En het heeft een "hoge resolutie" gezichtsveld. Houd de pupil stil en stel je voor dat het netvlies eromheen draait totdat het middelpunt van het gezichtsvermogen naar de boven- / onderkant van elk van de A -en en B -en wijst.

A heeft een grotere hoek dan de B .

Deze twee effecten - projecteren over een groter gebied op het netvlies, en vereisen je oog meer draaien om van de ene naar de andere kant te gaan - dat is wat "groter lijkt" betekent.

Het gebeurt omdat de optiek van een klein gaatje met lens in feite licht weggooit dat niet "rechtdoor gaat" "door het gat.

Licht is als een zwembad vol kinderen, met overal golven. Ons oog is een apparaatje dat in de hoek zweeft. Het is een doos met een gat aan één kant. In de doos zit een stel praalwagens. Door gebruik te maken van de positie van de drijvers veroorzaakt door de bewegende golven, wordt een beeld gemaakt van waar iedereen in het zwembad is en wat ze doen, zolang er een rechte lijn is van het apparaat naar het ding het maken van de golven. Het is een belachelijk verbazingwekkend apparaat, maar het beeld dat we zien is slechts een interpretatie (een nuttige!) Van wat de golven (licht) doen.

Hoe een gaatje + lens dit veroorzaakt gebeuren (alleen licht doorlaten waar het "recht door" gaat) is een probleem van optica en / of kwantummechanica, afhankelijk van hoe diep je wilt gaan, en buiten het bereik van je probleem.

De volgende vraag is de horizon. De horizon die we zien, wordt veroorzaakt door twee dingen: dingen die verder weg komen (en dus kleiner), en de aarde die in de weg zit.

Op een oneindig vlakke wereld, zou wat je redelijk dichtbij zou zien het verdwijnpunt van de kunstenaars. Alle dingen "op aarde" zouden steeds korter worden naarmate ze verder weg kwamen, in verhouding tot hoe ver ze weg zijn. Parallelle lijnen komen ook steeds dichter bij elkaar. Ze zouden nooit een hoogte of breedte van 0 bereiken - in plaats daarvan zou het een iets complexere curve beschrijven, waarbij parallelle lijnen 2x zo ver weg zijn 1/2 van de afstand tussen elkaar. Als ze echter voor altijd blijven bestaan, zijn de rechte lijnen een goede benadering. Maar de ruimte tussen "mijlpalen op afstand" zou ook kleiner worden.

Op aarde bevinden we ons echter meestal slechts 2 meter boven het oppervlak. En het oppervlak buigt weg.

Iets van 0 meter hoog zien (dat wil zeggen, het werkelijke aardoppervlak) is ongeveer 5 km verwijderd. Op dat moment verhindert de aarde zelf dat je de aarde zelf ziet.

Grotere dingen zullen inderdaad verder weg zichtbaar zijn.Een oneindig groot ding dat recht uit de aarde steekt, zou alleen helemaal onder de horizon zijn als het precies aan de andere kant van de aarde was.

Voor redelijk korte dingen (zoals gebouwen of bergen) kun jezie dingen op ongeveer 5 + $ 3,6 \ sqrt {h} $ km, waarbij $ h $ in meters boven de grond is (ervan uitgaande dat je menselijke lengte hebt). Bron.

Meer in het algemeen: $ 3.6 \ sqrt {h_0} $ + $ 3.6 \ sqrt {h_1} $, waarbij $ h_0 $ en $ h_1 $ de hoogten zijn van de twee objecten, is hoe ver je iets aan de horizon kunt zien.

Geen van deze effecten vereist "kromming van de ruimte" om te werken.

Wat betekent het om een ​​tekening te maken die qua perspectief nauwkeurig is, zoals de afbeelding in je vraag? Het tweedimensionale vel papier is heel duidelijk niet hetzelfde als de 3D-scène, dus we kunnen niet zomaar zeggen "ze zijn hetzelfde".

Als ik de afbeelding mag lenen van kobalteend:

Perspectief tekenen wordt zo gedaan dat, als je het vel papier voor je oog houdt , benaderen de lijnen en randen die in de tekening zijn getekend uw oog in dezelfde richting als de werkelijke randen in de 3D-scène.

Beschouw, in de afbeelding van kobalteenden, het stuk van 25 cent als ons papier dat we tekenen op, en de maan aan de rechterkant om het eigenlijke object te zijn. In het echte geval zenden fotonen van de maan in alle richtingen uit, waarvan sommige naar je oog gaan. Om een ​​perpsectieve tekening van de maan te maken, moet het papier fotonen langs dezelfde zichtlijnen laten uitzenden. (Ik negeer opzettelijk het feit dat we de neiging hebben om randen te tekenen met zwarte pen ... doe alsof het gloeiende neonranden zijn!)

Dus als ik een punt in 3D-ruimte op mijn 2D vel papier, waar moet ik het plaatsen? Ik zou een lijn moeten trekken tussen het punt in de 3D-ruimte en het oog. Overal waar dat punt het papier snijdt, is het juiste representatiepunt op het papier.

Dit is een mappingproces, en een belangrijk punt is dat het alleen afhangt van de richting van de vector vanaf het punt in de 3D-ruimte naar het oog. De werkelijke afstand doet er niet toe (in werkelijkheid zijn er enkele effecten die ervoor zorgen dat objecten in de verte vaag lijken, maar dat staat volledig los van de vraag die u stelt).

Laten we nu een object een beetje bekijken. Hoe ziet de maan eruit wanneer deze op het papier wordt geprojecteerd? Laten we eens kijken naar het bovenste punt en het onderste punt van de maan, die overeenkomen met de twee rode lijnen in het diagram. Dit zijn de richtingen waarin de fotonen reizen om het oog te bereiken. Om deze twee punten op het papier goed weer te geven, kijken we gewoon naar waar die twee vectoren het papier snijden. Dankzij de slimme keuzes van schalen in de afbeelding van een kobalteend, zien we dat de boven- en onderkant van het stuk van 25 cent precies langs die rode lijnen uitlijnen.

Laten we nu eens kijken naar lengtes van lijnen, want dat is waar je kwestie van "kleinere" komt uit. We kunnen een lijn trekken tussen de boven- en onderkant van de maan en zo een driehoek vormen met de 2 stralen naar het oog. Evenzo kunnen we een lijn trekken van boven naar beneden van het stuk van 25 cent en een driehoek vormen met de 2 stralen naar het oog. Omdat het stuk van 25 cent (de afbeelding van de maan op het papier) de randen van de driehoek deelt met de grotere driehoek van de maan, kunnen we Side-Angle-Side van geometrie gebruiken om aan te tonen dat de twee driehoeken vergelijkbaar moeten zijn. Deze gelijkaardige driehoeken zijn het "waarom" dat u zoekt.

Overweeg de verhouding tussen de afstand tot het papier en de afstand tot het object.De twee lijnen die we van boven naar beneden hebben getekend, moeten die verhouding ook delen.Als we voor het tekenen in perspectief aannemen dat het papier zich op een vaste afstand bevindt, leidt dit tot de uiteindelijke relatie: als een object verder weg is, moet het kleiner worden getekend omdat de verhouding tussen de afstanden tussen het oog en het papier kleiner is.en oog-tot-object is groter, wat betekent dat de verhouding tussen de afmeting van het object en de afmeting op het papier ook met dezelfde verhouding groter moet zijn.Als we zouden overwegen om het object naar voren en naar achteren te verplaatsen, zouden we zien dat, wanneer het dichterbij is, de perspectiefweergave groter moet zijn om deze verhoudingen te behouden, en wanneer het verder is, moet de perspectiefweergave kleiner zijn.

Beschouw een soort met twee ogen, in een lijn parallel aan de grond. Ze zouden de afstand beoordelen aan de hand van de waargenomen hoek die de ogen gebruiken om op een object te focussen. In het extreme geval word je scheel naar dingen die heel dicht bij je gezicht staan.

Ze kunnen de hoek tussen hun ogen beoordelen als een schatting van de afstand. Roofdieren die worden gezien als zijnde in de maximale hoek, worden als afstandelijk en veilig beoordeeld. Roofdieren die snel de hoek verkleinen die nodig is om ze te zien, moeten worden beoordeeld als snel naderen, waardoor ons exemplaar wordt aangemoedigd om weg te rennen.

Omdat je een illusie van afstand wilt creëren, maak je een soepel veranderende geschaalde tekening waar verre objecten zijn klein, opeengepakt en hebben een vergelijkbare hoek die de sensatie van een verafgelegen object nabootst. Hoewel de kijker niet scheel hoeft te kijken om een ​​dichtbijstaand object te zien, worden ze herinnerd aan het gevoel een object dichtbij te zien, omdat ze hun oog moeten bewegen om alle details van het 'nabije' object in zich op te nemen.

Nu moet een eenogige man afstand alleen op grootte beoordelen. Daarom is hij verbaasd als een leeuw zo groot wordt dat zijn laatste gedachte is: "My, kijk eens hoe groot die tanden ..."