Hier is een algebraïsche benadering om de randtoestand te begrijpen. Laten we beginnen met een generieke Dirac Hamiltoniaan voor de bulkfermionen in de $ d $ -dimensionale ruimte. $$ H = \ sum_ {i = 1: d} \ mathrm {i} \ partiële_i \ alpha ^ i + m (x_i) \ beta, $$ waarbij $ \ alpha ^ i $ en $ \ beta $ gamma-matrices tegen woon-werkverkeer zijn ($ \ {\ alpha ^ i, \ alpha ^ j \} = 2 \ delta ^ {ij} $, $ \ {\ alpha ^ i, \ beta \} = 0 $, $ \ beta \ beta = 1 $) en $ m (x_i) $ is de topologische massa die varieert in de ruimte. De grens van een topologische isolator zou overeenkomen met een knooppuntinterface waar $ m (x_i) $ van positief naar negatief gaat (of vice versa). Laten we eens kijken naar een gladde grens waarbij $ m $ verandert in de richting van $ x_1 $, wat betekent dat $ m \ propto x_1 $ in de buurt van de grens komt.
We kunnen ons dus concentreren in de richting van $ x_1 $ en de volgende 1D effectieve Hamiltoniaan $$ H_ \ text {1D} = \ mathrm {i} \ partiële_1 \ alpha ^ 1 + x_1 \ beta bestuderen. $$ Het bestaan van de grensmodus in $ H $ zou overeenkomen met het bestaan van de nulmodus rond $ x_1 = 0 $ in $ H_ \ text {1D} $.
Om verder te gaan, definiëren we een annihilatieoperator $$ a = \ frac {1} {\ sqrt {2}} (x_1 + \ eta \ partiële_1), $$ met $ \ eta \ equiv \ mathrm {i} \ beta \ alpha ^ 1 $, wat analoog is naar de bekende annihilatie-operator $ a = (x + \ partiële_x) / \ sqrt {2} $ van de harmonische oscillator. De matrix $ \ eta $ heeft de volgende eigenschappen: (i) $ \ eta ^ {\ dagger} = \ eta $ en (ii) $ \ eta \ eta = 1 $, die kunnen worden afgeleid uit de algebra van $ \ alpha ^ 1 $ en $ \ beta $. De aanmaakoperator is dan $ a ^ \ dagger = (x_1- \ eta \ partiële_1) / \ sqrt {2} $, en men kan aantonen dat $$ [a, a ^ \ dagger] = \ eta. $$ Verder Meer nog, de Hamiltoniaan in het kwadraat kan worden geschreven als $$ H_ \ text {1D} ^ 2 = 2 a ^ \ dagger a, $$ waarvan de eigentoestanden hetzelfde zijn als $ H_ \ text {1D} $, met de eigenwaarden in het kwadraat. Dus een nulmodus in $ H_ \ text {1D} $ zou ook overeenkomen met een nulmodus in $ H_ \ text {1D} ^ 2 $. Omdat het spectrum van $ H_ \ text {1D} ^ 2 $ positief bepaald is, is de nulmodus ook de grondtoestand.
Van $ \ eta \ eta = 1 $ weten we dat de eigenwaarden van $ \ eta $ alleen $ \ pm1 $ kunnen zijn. Vervolgens halen we in de $ \ eta = + 1 $ deelruimte de bekende commutatierelatie op van bosonoperatoren $ [a, a ^ \ dagger] = + 1 $ (merk op dat $ a $ pendelen met $ \ eta $, geen staat uit de $ \ eta = + 1 $ subruimte). Dan wordt het duidelijk dat $ H_ \ text {1D} ^ 2 = 2a ^ \ dagger a $ gewoon het boson-getal telt (met een factor 2). Dus de nulmodus van $ H_ \ text {1D} ^ 2 $ bestaat en is slechts de bosonvacuümtoestand, gedefinieerd door $ a | 0 \ rangle = 0 $ in de $ \ eta = + 1 $ -deelruimte. De ruimtelijke golffunctie van $ | 0 \ rangle $ zal gewoon hetzelfde zijn als de grondtoestand van een harmonische oscillator, wat een Gaussisch golfpakket is $ \ exp (-x_1 ^ 2/2) $ exponentieel gelokaliseerd op $ x_1 = 0 $. In de $ \ eta = -1 $ deelruimte wordt de commutatierelatie echter omgekeerd $ [a, a ^ \ dagger] = - 1 $, wat betekent dat men de annihilatieoperator kan herdefiniëren naar $ b = a ^ \ dagger $ (met $ [b, b ^ \ dagger] = + 1 $ nu), zodat het spectrum van de Hamiltoniaan $ H_ \ text {1D} ^ 2 = 2bb ^ \ dagger = 2b ^ \ dagger b + 2 $ nu wordt begrensd door 2 van onderaf en heeft geen nulstand. Daarom hebben we door verbinding te maken met de harmonische oscillator aangetoond dat
-
de nulmodus van $ H_ \ text {1D} $ bestaat,
-
zijn interne (smaak) golfvector wordt gegeven door de eigenvectoren van $ \ eta = + 1 $,
-
zijn ruimtelijke golffunctie is exponentieel gelokaliseerd rond $ x_1 = 0 $.
Met deze resultaten kunnen we de effectieve Hamiltoniaan verkrijgen door de bulk Hamiltoniaan $ H $ te projecteren op de Hilbertruimte van de grensmodus, wat de eigenruimte is van $ \ eta = + 1 $. Dus we definiëren de projectie-operator $ \ mathcal {P} _1 = (1+ \ eta) / 2 \ equiv (1+ \ mathrm {i} \ beta \ alpha ^ 1) / 2 $, en passen die toe op de bulk Hamiltoniaan $ H \ tot H _ {\ partiële} = \ mathcal {P} _1 H \ mathcal {P} _1 $. Volgens de anti-pendeleigenschap van de gamma-matrices kunnen $ \ alpha ^ 1 $ en $ \ beta $ de projectie niet overleven, en de rest van de matrices $ \ alpha ^ i $ ($ i = 2: d $) alle pendelen door de projectie $ \ mathcal {P} $, en dus aanhouden tot de grens Hamiltoniaan $$ H_ \ partiële = \ sum_ {i = 2: d} \ mathrm {i} \ partiële_i \ tilde {\ alpha} ^ i, $ $ die de gapless edge-modi op de grens beschrijft. $ \ tilde {\ alpha} ^ i $ geeft de beperking van de matrix $ \ alpha ^ i $ aan tot de $ \ mathrm {i} \ beta \ alpha ^ 1 = + 1 $ deelruimte (de projectie zal de helft van de Hilbertruimtedimensie zijn ). Daarom kunnen we door de projectie-operator $ \ mathcal {P} _i = (1+ \ mathrm {i} \ beta \ alpha ^ i) / 2 $ de Dirac Hamiltoniaan naar de massadomeinmuur duwen loodrecht op een willekeurige $ x_i $ - richting, en verkregen de effectieve Hamiltoniaan.
Deze benadering kan ook worden toegepast om de effectieve Hamiltoniaan in de topologische massadefecten te berekenen. Beginnend met de bulk zal Hamiltoniaan meerdere topologische massa termen $ m_j $, $$ H = \ sum_ {i = 1: d} \ mathrm {i} \ partiële_i \ alpha ^ i + \ sum_ {j} m_j \ beta ^ j, $ $
waar $ m_j $ een vectorveld is in de ruimte met topologische defecten (zoals monopolen, vortexlijnen, domeinwanden etc.). We kunnen de dimensiereductieprocedure gebruiken om de dimensie van het probleem elke keer met één te elimineren, totdat we de gewenste dimensie hebben bereikt. Bij elke stap vervormen we eerst het topologische defect (door het te schalen) tot zijn anisotrope limiet, en behandelen we het probleem langs de anisotropie-dimensie als een 1D-probleem. Door de projectie-operator te gebruiken zoals hierboven beschreven, kunnen we de Hamiltoniaan projecteren op de overige dimensies, en zo de probleemdimensie met één verkleinen.
Bijvoorbeeld, als de massaveld schalen met de coördinaat als $ m_1 \ propto x_1 $, $ m_2 \ propto x_2 $, ..., dan moet de projectie-operator (tot een normalisatiefactor) $ \ mathcal {P} \ propto (1+ \ mathrm {i} \ beta ^ 1 \ alpha ^ 1) (1+ \ mathrm {i} \ beta ^ 2 \ alpha ^ 2) \ cdots $. De lage-energetische fermionmodi in het topologische defect worden gegeven door die eigentoestanden van $ \ mathcal {P} $ met eigenwaarden die niet nul zijn.
Deze benadering kan verder worden toegepast om de effectieve Hamiltoniaan in de meter defecten, zoals meterfluxen en meter monopolen. Laten we beginnen door te overwegen een flux $ \ phi $ in een 2D topologische isolator te rijgen, wat neerkomt op het graven van een rond gat en het plaatsen van de flux in het gat.
Het is handig om over te schakelen naar de poolcoördinaat en de bulk Hamiltoniaan te herschrijven als $$ H = \ mathrm {i} \ partiële_r \ alpha ^ r + \ frac {1} {r} (\ mathrm { i} \ gedeeltelijke_ \ theta-A_ \ theta) \ alpha ^ \ theta + m \ beta, $$ waar de $ (\ alpha ^ r, \ alpha ^ \ theta) $ worden geroteerd van $ (\ alpha ^ 1, \ alpha ^ 2) $ door $$ \ left [\ begin {matrix} \ alpha ^ r \\\ alpha ^ \ theta \ end {matrix} \ right] = \ left [\ begin {matrix} \ cos \ theta& \ sin \ theta \\ - \ sin \ theta& \ cos \ theta \ end {matrix} \ right] \ left [\ begin {matrix} \ alpha ^ 1 \\\ alpha ^ 2 \ end {matrix} \ right].
$ A_ \ theta $ geeft de meterverbinding aan die tot aan de flux $ \ int_0 ^ {2 \ pi} A_ \ theta \ mathrm {d} \ theta = \ phi $ door het gat integreert. Om het fermion-spectrum rond het gat te verkrijgen, moeten we de bulk Hamiltoniaan naar de cirkelvormige grens duwen door de projectie $ \ mathcal {P} = (1+ \ mathrm {i} \ beta \ alpha ^ r) / 2 $ (die is $ \ theta $ afhankelijk). Alleen $ \ alpha ^ \ theta $ zal de projectie overleven en worden beperkt tot $ \ tilde {\ alpha} ^ \ theta $ in de $ \ mathrm {i} \ beta \ alpha ^ r = + 1 $ deelruimte. Dus de energiezuinige effectieve Hamiltoniaan rond de flux is (aangenomen dat de straal van het gat $ r = 1 $ is) $$ H_ \ phi = (\ mathrm {i} \ gedeeltelijke_ \ theta-A_ \ theta) \ tilde {\ alpha} ^ \ theta = \ Big (n + \ frac {1} {2} - \ frac {\ phi} {2 \ pi} \ Big) \ tilde {\ alpha} ^ \ theta. $$ In de laatste gelijkheid hebben we aangesloten op de golffunctie $ | n \ rangle = e ^ {\ mathrm {i} n \ theta} | \ mathrm {i} \ beta \ alpha ^ r (\ theta) = + 1 \ rangle $ gelabeld door het impulsmoment kwantumnummer $ n \ in \ mathbf {Z} $. De verschuiving $ 1/2 $ komt van de spin-verbinding (het fermion accumuleert de Berry-fase van $ \ pi $ terwijl $ \ mathrm {i} \ beta \ alpha ^ r $ om het gat slingert). Uit $ H_ \ phi $ kunnen we zien dat alleen $ \ pi $ -flux ($ \ phi = \ pi $) fermion nul-modi (bij $ n = 0 $) kan vangen in 2D gapped Dirac fermion-systemen.
Een monopooldefect (van de eenheidsterkte) in 3D kan worden beschouwd als het eindpunt van een $ 2 \ pi $ -fluxbuis. Stel dat de fluxbuis langs de $ x_3 $ -richting in een topologische isolator wordt geplaatst, waarbij de flux $ \ phi (x_3) $ verandert van $ 2 \ pi $ naar $ 0 $ over $ x_3 = 0 $. De effectieve Hamiltoniaan langs de buis is $$ H = \ mathrm {i} \ partiële_3 \ tilde {\ alpha} ^ 3 + m (x_3) \ tilde {\ alpha} ^ \ theta, $$ waarbij $ m (x_3) = n + \ frac {1} {2} - \ phi (x_3) / (2 \ pi) $ speelt de rol van een wisselende massa. $ \ tilde {\ alpha} ^ \ theta $ en $ \ tilde {\ alpha} ^ 3 $ zijn beperkingen van $ \ alpha ^ \ theta $ en $ \ alpha ^ 3 $ in de $ \ mathrm {i} \ beta \ alpha ^ r = + 1 $ subruimte.
Alleen de impulsmoment $ n = 0 $ sector heeft een tekenverandering in de massa $ m (x_3) $, wat leidt tot de nulmodus gevangen door de monopool. De nulmodus wordt daarom gegeven door de projectie $ \ mathcal {P} = (1+ \ mathrm {i} \ beta \ alpha ^ r) (1+ \ mathrm {i} \ alpha ^ \ theta \ alpha ^ 3) / 4 $. Gebruikmakend van de bulkgrenscorrespondentie, als de monopool een nulmodus vastlegt in het grootste deel van een 3D TI, dan zal de oppervlakteafsluiting, die een $ 2 \ pi $ flux is, ook een nulmodus op het TI-oppervlak vangen. We concluderen dus dat de $ 2 \ pi $ -flux fermion nul-modi kan vangen in 2D gapless Dirac fermion-systemen.