Het probleem zit 'm in de randvoorwaarden. Door factoren van $ G $ en $ \ pi $ te negeren, relateert de gravitatiewet van Gauss het gravitatiepotentieel $ \ Phi $ naar de massadichtheid $ \ rho $ door $$ \ rho = - \ nabla ^ 2 \ Phi. $$ Om een ​​unieke, goed gedefinieerde oplossing te hebben, moeten we randvoorwaarden specificeren voor $ \ Phi $ . Gewoonlijk nemen we aan dat $ \ rho $ voldoende snel sterft op ruimtelijke oneindigheid dat een redelijke keuze van randvoorwaarde $ \ Phi (| \ vec x | \ to \ infty) = 0 $ is. De schelpenstelling is gebaseerd op deze aanname. In uw voorbeeld sterft $ \ rho $ echter niet af bij oneindig en is in plaats daarvan overal niet-nul en daarom faalt de shell-stelling.

Vaak als een bepaald scenario in de natuurkunde niet, maar bijna voldoet aan het 'als'-deel van een stelling, kan het nuttig zijn om te proberen het probleem zo aan te passen dat het wel werkt. Daarom kunnen we een vensterfunctie $ W_ \ epsilon (x-x_0) $ gebruiken die snel afsterft als $ x \ naar \ infty $ maar $ \ lim _ {\ epsilon \ to0} W_ \ epsilon = 1 $ om de ladingsdichtheid te regelen. [bijv. take $ W_ \ epsilon (x-x_0) = e ^ {- \ epsilon (\ vec x- \ vec x_0) ^ 2} $ .] Dan kunnen we vervangen uw uniforme ladingsdichtheid $ \ rho $ door $$ \ rho \ to \ rho _ {\ epsilon, x_0} \ equiv \ rho W_ \ epsilon (x-x_0). $$ In dit geval geldt de schelpstelling. Het resultaat dat we krijgen is echter niet onafhankelijk van de regulator, dat wil zeggen als we $ \ Phi _ {\ epsilon, x_0} $ oplossen met behulp van de ladingsverdeling $ \ rho _ {\ epsilon, x_0} $ en stuur vervolgens $ \ epsilon \ to0 $ , we vinden dat ons antwoord nog steeds hangt af van de keuze van $ x_0 $ . Dit is de wiskundig rigoureuze manier om te zien dat er echt een dubbelzinnigheid is bij het toepassen van de schelpstelling op een dergelijke situatie!

Bewerken: er lijkt enige discussie in de commentaren te zijn over de vraag of de schelpstelling moet worden bewezen met krachten of met de wet van Gauss. In werkelijkheid maakt het niet uit, maar ik zal ingaan op wat er mis gaat als je alleen maar krachten gebruikt. In wezen zijn de wetten van Newton alleen gegarandeerd geldig als er een eindige hoeveelheid materie in het universum is. Het is duidelijk dat als er een uniforme massadichtheid is in de hele ruimte, er een oneindige hoeveelheid materie is, dus de schilstelling faalt. De eis dat $ \ rho (| \ vec x | \ to \ infty) \ to 0 $ 'voldoende snel' van bovenaf moet zijn, is nauwkeuriger dat $ \ int d ^ 3 x \ rho (x) < \ infty $ , wat precies de voorwaarde is dat er een eindige hoeveelheid materie in het universum is.

Bijgewerkt 07.11

We kunnen het model kiezen om het probleem te bespreken en dus laten we kiezen:

Model: Newtoniaanse mechanica / Newtoniaanse zwaartekracht, waarbij het heelal gevuld is met uniform dichte materie, die alleen gravitationeel in wisselwerking staat (in de kosmologie wordt dit 'stofmaterie' genoemd), en in het begin van onze ruimteschipreis is al deze materie in rust .

Daarom zou mijn ruimteschip moeten accelereren naar ×. Door de bol groot genoeg te kiezen, zou ik hem willekeurig snel moeten kunnen laten accelereren, en door de locatie van × te kiezen, kan ik hem in elke richting laten accelereren.

Absoluut!

Natuurlijk werkt dit niet, maar waarom ?.

Het werkt. Als we aannemen dat het ruimteschip aanvankelijk samen met het hele universum in rust was, zal het het punt x in de tijd bereiken dat nodig is om het schip te laten vallen tot een puntmassa gelijk aan de massa van de roze bol.

Het probleem is dat tegen die tijd ook de hele roze bol naar datzelfde punt valt, net als alle andere gekleurde bollen en ook de rest van het universum. Als onze astronaut de afstand tot het punt × controleert voordat het ruimteschip erin valt, zou ze merken dat deze afstand is afgenomen, maar terwijl ze tegelijkertijd haar omgeving controleert, zou ze merken dat het ruimteschip wordt omringd door precies dezelfde materiedeeltjes die toen de reis pas begon, zijn ze dichter bij elkaar en bij het ruimteschip. Deze afstandscontractie is gewoon een Newtoniaanse versie van het Big Crunch-evenement.

Als het universum gevuld is met materie die alleen gravitationeel in wisselwerking staat en we aannemen dat de dichtheid van materie overal in het universum uniform blijft, dan zou de enige conclusie zijn dat zo'n universum niet statisch is. Het heeft ofwel (Newtoniaanse versie van) Big Bang in zijn verleden of Big Crunch in zijn toekomst (of in ons model, aangezien we het eerste moment hebben gekozen als een keerpunt van expansie naar contractie, heeft het beide).

Het lijkt misschien dat het hele universum naar het door ons gekozen punt × valt, een absurditeit is, aangezien we dit punt willekeurig hebben gekozen. Maar in deze situatie is er geen paradox, de versnelling van alle materie naar dit punt is te wijten aan het feit dat er in onze opstelling geen "absolute ruimte" is, geen set buiten stationaire traagheidswaarnemers die ons absolute versnellingen zouden kunnen geven, in plaats daarvan kunnen we alleen een referentiepunt × kiezen (of liever een waarnemer specificeren die zich op dit punt bevindt en in rust is met betrekking tot de omringende materie) en relatieve versnellingen naar dit punt toe.

Bedenk dat het eerste principe van de Newtoniaanse mechanica stelt dat elk deeltje doorgaat in zijn rusttoestand of uniforme beweging in een rechte lijn lijn tenzij het wordt beïnvloed door een of andere externe kracht . Voor een geïsoleerd systeem, bijvoorbeeld een verzameling graviterende objecten met een eindige totale massa, zouden we (althans in principe) een waarnemer zo ver weg kunnen plaatsen dat het als een traagheidsobject kan worden beschouwd. Dit zou ons in staat stellen om een ​​referentiekader te definiëren ten aanzien waarvan we versnellingen zouden meten. Maar in onze Newtoniaanse kosmologie vult materie het hele universum, er is geen waarnemer waarop de zwaartekracht niet werkt, dus er is geen set referentiekaders gedefinieerd door waarnemers 'op oneindig', alleen waarnemers binnen de materieconcentraties die worden beïnvloed door de zwaartekracht. krachten.

Hoewel er geen absolute versnellingen zijn, zijn de relatieve posities ( $ \ mathbf {d} _ {AB} (t) = \ mathbf {x} _A (t) - \ mathbf {x} _B (t) $ tussen objecten $ A $ en $ B $ comoving met de materie van het heelal) hebben een betekenis die onafhankelijk is van de keuze van het referentiepunt. Deze relatieve posities, relatieve snelheden ( $ \ dot {\ mathbf {d}} _ {AB} $ ), relatieve versnellingen, enz. Vormen de verzameling ondubbelzinnig gedefinieerde grootheden meetbaar binnen ons universum.

dan zegt mijn intuïtie me dat ik gewoon een voldoende statisch universum kan kiezen.

Deze intuïtie is verkeerd, als er een zwaartekracht is die je ruimteschip naar × zou versnellen, dan zou het ook inwerken op een nabijgelegen materie (noem ze stofdeeltjes of planeten of sterren) en produceert dezelfde versnelling, dus alle het universum zou naar × vallen.

Note over Newtoniaanse kosmologie het lijkt erop dat de Newtoniaanse zwaartekrachttheorie niet geschikt is om homogene ruimtelijk oneindige distributies van materie te hanteren. Maar men kan proberen de fysica van de situatie te scheiden van de tekortkomingen van een bepaald formalisme en deze mogelijk te overwinnen. Als motivatie konden we opmerken dat over grote, kosmologische afstanden ons universum met een hoge mate van nauwkeurigheid als ruimtelijk vlak kan worden beschouwd, en dat de snelheden van de meeste massieve objecten ten opzichte van elkaar en tot het frame van CMB erg klein zijn in vergelijking met de snelheid van licht, wat betekent dat Newtoniaanse benadering geschikt kan zijn. Hoewel we weten dat de algemene relativiteitstheorie een betere beschrijving geeft van de zwaartekracht, is de zwaartekracht van Newton computationeel en conceptueel veel eenvoudiger. Dit lijkt erop te wijzen dat het de moeite waard is om alle problemen die men tegenkomt te ‘oplossen’ terwijl men probeert kosmologische oplossingen van de Newtoniaanse zwaartekracht te formaliseren.

De meest natuurlijke benadering is om de Newtoniaanse zwaartekracht te "geometriiseren" en in plaats van "kracht" te beschouwen als een onderdeel van de geometrie, een dynamische verbinding die de zwaartekracht en inertie vertegenwoordigt. Dit wordt gedaan in het kader van de Newton-Cartan-theorie.

Voor een meer gedetailleerde referentie, met de nadruk op kosmologie, zie dit artikel (kennis van de algemene relativiteitstheorie is vereist):

• Rüede, C., & Straumann, N. (1996). Over Newton-Cartaanse kosmologie . arXiv: gr-qc / 9604054.

Newton-Cartan theorie onderstreept conceptuele overeenkomsten tussen Newtoniaanse zwaartekracht en algemene relativiteitstheorie, waarbij de Galilei-groep de Lorentz-groep van GR vervangt. De algemene benadering is vrij van coördinaten en hangt nauw samen met de machinerie van de algemene relativiteitstheorie, maar een specifieke keuze van lokale Galilei-coördinaten zou de gebruikelijke vergelijkingen voor versnelling opleveren ( $ \ mathop {\ mathrm {div}} \ mathbf {g} = - 4 \ pi \ rho $ ), waarbij de zwaartekrachtversnelling nu deel uitmaakt van de Newtoniaanse verbinding. Homogene en isotrope kosmologische oplossingen zijn een eenvoudige opheffing van FLRW-kosmologieën.

Hoewel vergelijkingen hetzelfde zijn, kunnen we al enkele conceptuele vragen beantwoorden.

1. Aangezien zwaartekrachtversnelling deel uitmaakt van de verbinding, is er geen reden om te verwachten dat het een "absoluut" object is, er zouden ijktransformaties zijn die het zouden veranderen. We kunnen meerdere grafieken hebben waarop we de fysica definiëren met de normaal gedefinieerde overgangskaarten ertussen.

2. We kunnen een gesloten FRW-kosmologie hebben, de "spatie" hoeft geen Euclidische ruimte te zijn, het kan torus zijn $ T_3 $ (veldvergelijkingen vereisen dat de ruimte lokaal vlak is). Aangezien het ruimtelijke volume van een gesloten universum varieert en naar nul neigt naarmate het universum de Big Crunch nadert, beweert dit dat niet alleen materie, maar de ruimte zelf instort tijdens de Big Crunch (om een ​​van de opmerkingen te beantwoorden).

3. Het is vrij eenvoudig om de kosmologische constante / donkere energie op te nemen, waardoor de modellen realistischer worden.

Notitie bij antwoord door gebruiker105620: als we een regularisatieprocedure formuleren door een vensterfunctie te introduceren $ W (\ epsilon, x_0) $ zou dat potentieel goed gedragen. Dit geeft ons een andere manier om problemen van ons kosmologische model op te lossen. De versnelling van ons ruimteschip berekend met deze regularisatie is inderdaad afhankelijk van de keuze van $ x_0 $ in de limiet $ \ epsilon \ tot 0 $ , wat het gevolg is van dezelfde vrijheid bij het kiezen van het referentiepunt ×. Maar hij / zij had daar gewoon niet moeten stoppen. Afwijkingen die het gebruik van regulatoren vereisen en onduidelijkheden die na regularisatie blijven bestaan, zijn heel normale kenmerken bij het ontwikkelen van fysieke modellen. De volgende stap is het identificeren van de fysiek betekenisvolle grootheden en het controleren of deze onafhankelijk zijn van de regulatorartefacten. In ons geval zijn noch potentiële $ \ Phi $ noch zwaartekrachtversnelling $ \ mathbf {g} $ direct waarneembaar in dit model. Relatieve posities, relatieve snelheden en relatieve versnellingen zijn waarneembaar en deze worden onafhankelijk van de regulatorparameter $ x_0 $ .

door de locatie van × te kiezen, kan ik het in elke richting laten versnellen.

Deze keuzevrijheid is de sleutel tot de puzzel.Ik neem de Newtoniaanse zwaartekracht aan in een statisch universum gevuld met homogeen stof.

Laat het schip bij de oorsprong zijn.Het schip voelt een kracht evenredig met $ x $ naar het midden van de bol met straal $ x $ gecentreerdop $ \ pmb {x} $ , maar het voelt ook precies de tegenovergestelde kracht naar het midden van de identieke maar onsamenhangende bol gecentreerd op $ \ pmb {-x} $ , dus deze twee krachten heffen precies op.In elk geval beschouw ik alleen de massa in de bal en negeer ik de massa daarbuiten, volgens de schelpstelling.

Dezelfde logica is van toepassing op elke willekeurige $ \ pmb {x} $ .

Al snel lijkt het erop dat de bestaande antwoorden uitstekend zijn, dus ik zal in plaats daarvan wat natuurkunde- en filosofieliteratuur bijdragen. Ook ik maakte me zorgen over deze kwestie na het lezen van een bepaald artikel (Peacock 2001, overigens), totdat ik ontdekte dat eeuwen van denken aan mij waren voorafgegaan!

Uw bezorgdheid is blijkbaar voor het eerst naar voren gebracht door bisschop Berkeley, in gesprek met Newton zelf. Veel later heeft Seeliger (1890) de kritiek aangescherpt en gepopulariseerd. Zie Norton (1999), "The cosmological woes of Newtonian gravitation theory" voor geschiedenis. Norton bespreekt ook de analoge kwestie voor de wet van elektrische kracht van Coulomb.

Opmerkelijk is dat de Newtoniaanse kosmologie pas werd uitgewerkt na de algemene relativistische casus, door Milne en ook McCrea. Hier bedoel ik vooral de expansiesnelheid, die overigens sterk lijkt op de relativistische Friedmann-vergelijkingen. [Ik ga uit van een homogeen en isotroop universum. Zie anders Buchert & Ehlers (1997).] Maar opnieuw werd uw bezwaar ingediend. Ten slotte wordt Heckmann & Schucking (1955) gecrediteerd voor het maken van de Newtoniaanse kosmologie weer geweldig rigoureus.

Norton was nog een ander die onafhankelijk de eeuwenoude bezwaren naar voren bracht. Malament (1995) verdedigde door drie formuleringen van Newtoniaanse zwaartekracht te beschrijven: de $ 1 / r ^ 2 $ krachtwet, de vergelijking van Poisson en de Newton-Cartan-theorie. Norton (1995) was het daarmee eens, maar voegde eraan toe dat versnelling relatief wordt! Tipler (1996a, 1996b) heeft mooie papieren uit dezelfde tijd. Wallace (2017) ziet er interessant uit, zoals de sectietitel "2. Niet-uniekheid van oplossingen voor de vergelijking van Poisson".

Ik wil op een rigoureuze manier ingaan op wat er wiskundig gaande is dat tot deze schijnbare tegenstrijdigheid leidt. Newton's schelpstelling, zoals bewezen door Newton, is een uitspraak over het zwaartekrachtveld zoals gedefinieerd door de wet van de universele zwaartekracht van Newton,

$$ \ mathbf {g} (\ vec {x}) = \ int _ {\ mathbb {R} ^ 3} \ rho (\ vec x ') \ frac { (\ vec x '- \ vec x)} {| \ vec x' - \ vec x | ^ 3} d ^ 3x '. \ tag {1} $$ Waar $ \ rho: \ mathbb {R} ^ 3 \ to \ mathbb {R} _ + $ de massadichtheidsfunctie is, die we als constant zullen beschouwen . Of deze formule nu formeel is wat men Newtoniaanse zwaartekracht wil noemen of niet, hier moet onze tegenspraak liggen. De bovenstaande formule houdt per definitie in dat de $ i $ de component $ \ mathbf {g} _i (\ vec x) $ van het zwaartekrachtveld is $$ \ mathbf {g} _i (\ vec x) = \ rho \ int _ {\ mathbb {R} ^ 3} \ frac {x_i'-x_i} {| \ vec x '- \ vec x | ^ 3} d ^ 3x', $$ en nu is onze integrand gewoon een functie met reële waarde, een situatie waarmee we ons op ons gemak voelen. Het fundamentele probleem met deze uitdrukking is echter dat, hoewel het lijkt alsof we hem symmetrisch nul kunnen noemen, de integrand niet integreerbaar is in de Lebesgue of onjuiste Riemann-betekenis omdat hij niet absoluut integreerbaar is, d.w.z. $$ \ int _ {\ mathbb {R} ^ 3} \ frac {| x_i'-x_i |} {| \ vec x '- \ vec x | ^ 3} d ^ 3x '= \ infty $$ in de zin van Legesgue. Dit is de kicker: omdat onze integrand niet integreerbaar is, kunnen we niet verwachten dat stellingen die consistentie aangeven onder verandering van coördinaten en worden doorgegeven aan iteratieve integralen om toe te passen . Maar dit is precies onze kwestie: elke keer dat u de schelpstelling toepast op een andere keuze van het centrum, roept u een wijziging op in een bepaalde set bolcoördinaten en berekent u de resulterende uitdrukking via een herhaalde integraal (dat moet, zoals Newton is van toepassing op een "oneindig" dunne bolvormige schaal). Vanwege het bovenstaande technische probleem hoeven de waarden die in elk geval worden verkregen niet met elkaar in overeenstemming te zijn.

Zoals besproken door user105620, doen zich verschillende soorten problemen voor bij het formuleren van Newtoniaanse zwaartekracht via een potentieel, waarbij $ \ mathbf {g} $ wordt bepaald volgens de voorwaarden $ \ vec \ nabla \ cdot \ mathbf {g} = \ rho $ , $ \ vec \ nabla \ times \ mathbf {g} = 0 $ , en een randvoorwaarde op $ \ mathbf {g} $ . Als $ \ rho $ niet snel genoeg vervalt (zoals in de hypothesen van het gekoppelde resultaat), is deze formulering over het algemeen niet goed gesteld, dat wil zeggen een dergelijke $ \ mathbf {g} $ bestaat mogelijk niet (als dat wel het geval is, is het waarschijnlijk uniek, afhankelijk van de randvoorwaarde).

Afgezien van het bestaan ​​hangt de schelpstelling in dit geval, bewezen door de divergentiestelling, af van het kunnen aannemen van sferische symmetrie van $ \ mathbf {g} $ uit die van $ \ rho $ . Men kan gemakkelijk aantonen dat dit prima werkt voor het standaardgeval van $ \ rho $ snel genoeg vervallen met de randvoorwaarde $ \ mathbf {g} \ tot 0 $ op oneindig, maar het is helemaal niet duidelijk hoe een fysiek redelijke randvoorwaarde moet worden voorgeschreven die ervoor zorgt dat het anders is toegestaan. Inderdaad, voor de constante $ \ rho $ case, $ \ mathbf {g} (\ vec x) = \ frac { \ rho} {3} (\ vec x - \ vec x_0) $ voldoet aan de PDE-voorwaarden voor elke $ \ vec x_0 $ , maar dergelijke oplossingen doen dat wel verschillen niet door een constante, dus de bovenstaande gekoppelde uniciteitsverklaring impliceert dat alle standaardtypen randvoorwaarden (Dirichlet, Neumann en gemengd) er slechts één kunnen selecteren. Dat wil zeggen, in potentiële Newtoniaanse zwaartekracht kunnen standaardkeuzes van randvoorwaarden niet ons generiek toestaan ​​om sferische symmetrie aan te nemen van $ \ mathbf {g} $ van die van $ \ rho $ wanneer $ \ rho $ niet vervalt, en vandaar de shell-stelling in het algemeen mislukt in dit geval.

Uiteindelijk komt je tegenstrijdigheid als volgt neer: gezien de twee meest basistheorieën van Newtoniaanse zwaartekracht, die natuurlijk de schelpstelling omvatten, blijkt dat één theorie eenvoudigweg niet wiskundig zinvol is in de niet-vervallende $ \ rho $ case, terwijl de shell-stelling van de andere theorie noodzakelijkerwijs opsplitst in de niet-vervallende $ \ rho $ case .