De objecten die er in de natuurkunde toe doen, zijn Lie-groepen en geen Lie-algebra's. Lie-algebra's benaderen alleen oneindig kleine groepstransformaties en in de kwantummechanica zijn de eindige en globale eigenschappen van de transformaties van belang.

Echter, (rekening houdend met kwantumsystemen met een eindig aantal vrijheidsgraden), zijn de ruimtes van kwantumtoestanden projectief, aangezien er geen fysieke betekenis is voor de algemene magnitudes en globale fasen van toestandsvectoren. Symmetriegroepen werken dus via projectieve representaties op de ruimtes van staten.

Voor een semi-simpele compacte Lie-groep is een projectieve representatie een getrouwe weergave van de (eenvoudig verbonden) universele omhulling. De representaties van de universele dekkingsgroep staan ​​in een $ 1-1 $ correspondentie met de representaties van zijn Lie-algebra (wat dezelfde Lie-algebra is als de oorspronkelijke groep). Dit is de reden waarom alle representaties van de Lie-algebra van de groep kunnen verschijnen als realisaties van symmetrieën in kwantumsystemen.

Misschien wel het bekendste geval is de rotatiegroep $ SO (3) $ , die kan worden geparametriseerd door de hoeken van The Euler. De ware representaties van de rotatiegroepen zijn de gehele spin representaties. Er zijn echter kwantumsystemen waarbij de rotatiesymmetrie wordt gerealiseerd door middel van de half-integer spin-representatie (zoals de elektronenspin of een qubit). De representaties van een half geheel getal zijn slechts projectieve representaties van de rotatiegroep; het zijn echter waarheidsgetrouwe weergaven van de universele dekking van $ SU (2) $ . De weergaven van $ SU (2) $ komen in een $ 1-1 $ overeen met de weergaven van de isomorfe Lie-algebra's van beide groepen $ \ mathfrak {so} (3) \ cong \ mathfrak {su} (2) $ .

1. Het is een algemeen feit dat elke Lie-groep representatie een overeenkomstige Lie-algebra representatie induceert (maar niet noodzakelijkerwijs andersom).Daarom kunnen we, afgezien van topologische informatie, vaak veel over natuurkunde leren door met de Lie-algebra om te gaan (wat in de praktijk een wiskundig gemakkelijker te hanteren gadget is, namelijk slechts een vectorruimte).

2. Natuurlijk omvat een volledige behandeling het onderzoeken of de representaties van de Lie-algebra kunnen worden opgetild tot consistente (mogelijk projectieve $ ^ 1 $ ) representaties van de Lie-groepvan de theorie.Deze analyse wordt vaak verdoezeld in natuurkundeboeken.

-

$ ^ 1 $ Of projectieve representaties zijn toegestaan, hangt af van de context.

Waarneembare waarden sluiten vaak aan bij een Lie-algebra, en hun matrixelementen zijn direct gerelateerd aan meetbare grootheden, v.g. gemiddelde waarden, eigenwaarden (spectrum), overgangssnelheden om er maar een paar te noemen.

Daarnaast zijn er enkele zeer nuttige algebra's waarvoor geen groep is, vg de Temperley-Lieb algrebra, $ q $ -vervormingen, etc.

Ten slotte worden de vergelijkingen van de fysica meestal uitgedrukt in differentiële vorm, waarbij functies worden vergeleken die oneindig dichtbij zijn.Het is dus geen verrassing dat oneindig kleine generatoren, d.w.z. elementen van de algebra, doorgaans nuttiger zijn dan groepselementen, die (soms zeer ingewikkelde) machtsverheffing vereisen.

Het is niet waar dat we alleen om groepen geven. In plaats daarvan zijn Lie-algebra's voor de meeste toepassingen eigenlijk belangrijker.

Om Ed Witten te citeren in zijn recensie over " Physics and Geometry"

Experiment vertelt ons directer over de Lie-algebra van G dan over G zelf. Als ik zeg dat G de subgroep SU (3) X SU (2) bevat x U (1), ik bedoel eigenlijk alleen dat de Lie-algebra van G die van bevat $ SU (3) \ keer SU (2) \ keer U (1) $ ; er is geen claim over de globale vorm van $ G $ . Om dezelfde reden zal ik in latere commentaren niet erg precies zijn onderscheid te maken tussen verschillende groepen die dezelfde Lie-algebra hebben.

Of om Sidney Coleman

In hoge-energietheorie. we hebben de neiging om ons te concentreren op de Lie-algebra van een groep en negeren de globale structuur ervan;

Bovendien kan het volgende citaat uit een recent artikel van David Tong nuttig zijn

We leren op de kleuterschool wat we zouden moeten doen $$ \ tilde {G} = U (1) \ keer SU (2) \ keer SU (3) $$ Maar dit is niet helemaal juist. Experimentele overwegingen vertellen ons alleen dat de ijkgroep dat is $$ G = {\ tilde {G}} / {\ Gamma} $$ waarbij $ \ Gamma $ een discrete groep is. Op dit moment kunnen we alleen zeggen dat de metergroep een quotiënt omvat van $ \ Gamma $ , wat een subgroep is van $ {\ bf Z} _6 $ , dwz $$ \ Gamma = {\ bf Z} _6, \ {\ bf Z} _3, \ {\ bf Z} _2 \ {\ rm of} \ {\ bf 1} $ $ Elk van deze mogelijkheden definieert een andere theorie en leidt uiteindelijk tot een andere fysica.De voor de hand liggende vragen zijn: welke beschrijft onze wereld?En hoe weten we dat?[...] Correlatiefuncties van lokale operators in $ {\ bf R} ^ {1,3} $ zijn alleen afhankelijk van de Lie-algebra van de ijkgroep en zijnniet beïnvloed door wereldwijde problemen zoals de keuze voor $ \ Gamma $ .Dit betekent dat geen enkel lopend experiment onderscheid kan maken tussen de vier mogelijkheden.Desalniettemin kan de fysica in vlakke ruimte op subtiele manieren afhangen van $ \ Gamma $ (en op meer dramatische manieren wanneer ruimtetijd een interessante topologie heeft).Het doel van dit artikel is om de grofste verschillen tussen de theorieën te beschrijven: het spectrum van lijnoperatoren en de periodiciteit van theta-hoeken.