Beschouw een foton dat in het midden valt en rechtstreeks naar zichzelf terugkaatst.Dat foton geeft de bol tweemaal zijn momentum.

Beschouw een foton dat de rand raakt in een kijkhoek en slechts een klein beetje wordt afgebogen.Het heeft nauwelijks invloed op de bol.De momentumverandering is ongeveer $ 0 $ .

Als je over de bol heen integreert, krijg je een gemiddelde impulsverandering tussen de twee uitersten.

Als een foton wordt geabsorbeerd, maakt het niet uit wat de hoek van het oppervlak is.Het geeft al zijn vaart aan de bol.

Je hebt aangetoond dat de gemiddelde waarde voor reflectie hetzelfde uitkomt als de uniforme waarde voor absorptie.

Overweeg voor andere geometrieën een kegel met een oppervlak van 45 graden.Overal zou licht reflecteren op 90 graden.Dit zou hetzelfde momentum geven als geabsorbeerd worden.

Dit zou ook gelden voor een platte schijf op 45 graden.

Ik begreep dit aanvankelijk niet, dus ik dacht dat ik een kwantitatieve verklaring zou schrijven. Stel dat een lichtstraal met een intensiteit $ I $ van rechts op het oppervlak van een bol valt en bedenk wat er gebeurt met licht dat een hoek $ \ theta $ vanaf het voorste punt van de bol:

Het invallende licht draagt ​​momentum $$ \ Delta p_x = - \ frac Ic \ cos \ theta \, d ^ 2A $$ In de $ x $ -direction, waarbij $ d ^ 2A = R ^ 2 \ sin \ theta \, d \ theta \, d \ phi $ is het gebiedselement waarop het licht valt en $ c $ is de lichtsnelheid. De factor $ \ cos \ theta $ is aanwezig omdat het areal-element een hoek maakt $ \ theta $ span > naar de invallende straal. Zoals te zien is in de bovenstaande afbeelding, draagt ​​het gereflecteerde licht momentum $$ \ Delta p_x ^ {\ prime} = \ frac Ic \ cos2 \ theta \ cos \ theta \, d ^ 2A $$ Dus de verandering in momentum van de bol is $$ \ Delta p_x- \ Delta p_x ^ {\ prime} = - \ frac Ic (1+ \ cos2 \ theta) \ cos \ theta \, d ^ 2A $$ span> Als we dit optellen over de voorkant van de bol die we krijgen $$ \ begin {align} F_x& = \ int_0 ^ {2 \ pi} \ int_0 ^ {\ pi / 2} - \ frac Ic (1+ \ cos2 \ theta) R ^ 2 \ cos \ theta \ sin \ theta \, d \ theta \, d \ phi \\ & = - \ pi R ^ 2 \ frac Ic \ int_0 ^ {\ pi / 2} \ left [1 + (\ cos2 \ theta) \ right] \ sin2 \ theta \, d \ theta \\ & = - \ pi R ^ 2 \ frac Ic \ left [- \ frac12 \ cos2 \ theta + \ left (- \ frac14 \ cos ^ 22 \ theta \ right) \ right] _0 ^ {\ pi / 2} \\ & = - \ pi R ^ 2 \ frac Ic \ left [1- (0) \ right] \ end {align} $$ Dus met of zonder reflectie krijg ik $$ F = \ frac {\ pi R ^ 2I} c $$ Links staat de kracht op de bol door de lichtbundel.

Wat betreft intuïtie: als de bovenstaande afbeelding voor een cilinder was, zou reflectie de kracht met $ 33 \% $ verhogen in vergelijking met absorptie.Ik had gedacht dat het misschien te maken had met het feit dat een deel van een bol met een straal $ R $ met een dikte $h $ heeft altijd $ A = 2 \ pi Rh $ van het oorspronkelijke oppervlak, ongeacht waar de plak is gemaakt, maar als we naar de bovenstaande afleiding kijken,kan zien dat het een heel ander fenomeen is.

Laten we de twee gevallen in detail bekijken. Om het specifiek te maken, kunt u overwegen dat licht langs de Z-as komt, uitgelijnd met de $ \ theta = 0 $ van een bolvormig coördinatensysteem.

Overweeg nu twee punten:

Allereerst een klein stukje gebied $ dA $ aan de paal ( $ \ theta = 0 $ ), met $ I \, dA $ licht erop. Als het wordt geabsorbeerd, is dat $ dp = {I \ over c} \, dA $ op overgedragen momentum. Als het wordt gereflecteerd, is dat het dubbele.

Beschouw nu een gebied bij de ledemaat, dichtbij maar niet helemaal aan de rand ( $ \ theta = \ pi / 2 $ ). Omdat de $ dA $ er geneigd is, projecteert deze alleen $ dA \, \ cos \ theta $ in het licht, dus $ I \, dA \, \ cos \ theta $ botst. Als het volledig is geabsorbeerd, is dat $ dp = {I \ over c} \, dA \, \ cos \ theta $ .

Maar als het van daaruit wordt weerkaatst, wordt het weerkaatst door gewoon van het oppervlak te kijken en meestal vooruit te gaan. Als je de trigonometrie uitvoert, zul je zien dat in plaats van de toename met een factor 2 zoals hierboven gezien, een reflecterend oppervlak hier een momentumoverdracht biedt, verminderd met een factor $ 1 - \ cos {2 \ theta} $ . Aan de rand is dat nul.

Verschillende vormen hebben verschillende verdelingen van oppervlaktehellingen: een platte loodrechte schijf lijkt meer op de paalbehuizing (meer kracht als deze reflecteert), een lange dunne naald of kegel zoals de ledemaatbehuizing (meer kracht als deze wordt geabsorbeerd). Voor een bol is de oppervlakteverdeling precies goed voor de twee om te verbergen wanneer ze gemiddeld over het oppervlak worden verdeeld.

Hoewel dit de vraag niet direct beantwoordt, zou ik eraan willen toevoegen dat de rigoureuze kracht die door een lichtstraal op een bol wordt uitgeoefend, moet worden berekend door de vergelijkingen van Maxwell op te lossen.Deze oplossing heet Lorenz-Mie Theory en de bijbehorende software is hier te vinden. In de rigoureuze oplossing is de kracht een functie van de bolgrootte, de permittiviteit en de vorm van de invallende straal, die b.v.in optische pincetten.

BEWERK:

Hier is een actuele referentie over het berekenen van optische krachten op sferische deeltjes.